모나드
나름대로 모나드를 이해하기 위해 공부한 내용 요약
내부 함자 범주의 모노이드 대상으로, 폐포연산과 대수 구조 다양체의 공통적인 일반화이다.
- 모노이드: 결합 법칙을 만족하며 항등원(항등 사상)을 가지는 구조.
범주
대상의 모임과 $\operatorname{ob}(\mathcal C)$, 대상 간의 사상의 모임 $\hom(\mathcal C)$을 가지며, 사상의 모임과 합성$(\hom(\mathcal C), \circ)$이 모노이드를 이루는 구조를 범주라 한다.
- 모임: 집합을 추상화한 개념. 특정 성질을 만족하는 것들을 모아놓은 것. 집합이 아닌 모임, 즉 다른 모임의 원소가 될 수 없는 모임(固有모임, 영어: proper class)은 고유 모임이라 한다.
- 사상: 함수를 추상화한 개념. 집합의 함수, 군의 준동형, 위상 공간의 연속 함수 등.
- 작은 범주: $\operatorname{ob}(\mathcal C)$, $\hom(\mathcal C)$가 각각 집합인 범주. 집합이 아닌 고유 모임인 범주
함자
두 범주 간의 함수에 해당하는 구조로 대상을 대상으로, 사상을 사상으로 대응시킨다. 이 때, 항등 사상을 보존하며, 사상의 합성을 보존해야 한다.
임의의 범주 $C, D$에 대해 $C$와 $D$ 사이의 함자 $F:C\to D$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
- $C$의 임의의 대상 $X$에 대응 되는 $D$의 대상 $F(X)$
- $C$의 임의의 사상 $f:X\to Y$에 대응 되는 $D$의 대상 $F(f):F(X)\to F(Y)$
이 데이터는 다음 두 조건을 만족해야한다.
- 항등 사상 보존: $F(\operatorname {id} _{X})=\operatorname {id} _{F(X)}$
- 사상 합성의 보존) C의 임의의 사상 $f: X\to Y$와 $g: Y\to Z$에 대해 $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$
- 자기 함자(自己函子, 영어: endofunctor): 작은 범주의 범주에서, 정의역과 공역이 같은 함자. 범주 간의 자기 사상.
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